MATEMÁTICA - 2017

Fatorial

O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! . Exemplo:

1! = 1
2! = 2 * 1 = 2
3! = 3 * 2 *1 = 6
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
6! = 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 720
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 040
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800 

Importante: n >= 0 (n maior ou igual a zero) , ou seja, não existe fatorial para números negativos.

* O fatorial de 0 ( 0! ) é 1, pois o produto de número nenhum é 1.

O numero fatorial pode ser modificado para outras formas:

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!

Exemplo:

6! = 6 . (6-1) . (6-2) . (6-3)!

6! = 6 . 5 . 4 . 3!

6! = 120 . 3!

6! = 120 . 3 . (3-1) . (3-2)!

6! = 120 . 3 . 2 . 1!

6! = 120 . 6 = 720

Exemplo 2

Vamos calcular o valor de 12! / 8! . Nesse caso, se desenvolvermos os fatoriais dos números e depois efetuarmos a divisão, o método de resolução estará correto. Mas essa forma de resolução pode se tornar complexa para números elevados, por isso devemos desenvolver o fatorial do maior número até chegarmos ao fatorial do menor número, simplificando os fatoriais semelhantes. Observe:

Exemplo 3

Outra forma de resolução de fatoriais é quando ocorre a soma de fatoriais. Nesse caso podemos utilizar a fatoração por evidência. Observe:

Exemplo 4

Outras situações exigem técnicas de desenvolvimento dos fatoriais para que simplificações sejam efetuadas. Veja:

Atividades avaliativas

1) (UNIFOR) - A soma de todos os números primos que são divisores de 30! é :

a) 140

b) 139

c) 132

d) 130

e) 129

2) (UFJF–MG) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:

a) 288
b) 296
c) 864
d) 1728
e) 2130

3) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720

4) (ITA–SP) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?

a) 144
b) 180
c) 240
d) 288
e) 360

5) Com os algarismos: 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 5 dígitos distintos podemos formar?   

6.) Quantos anagramas da palavra CONTAGEM podemos formar?

    

7º.) Quantos anagramas da palavra PERNAMBUCO podemos formar?   

8º.) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ELE?     

9º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra AMADA?    

10º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra DANADA?    

   

11º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra COMBINATÓRIA?

12º.) Quantos números de 6 algarismos podemos formar com os dígitos: 2, 2, 3, 3, 3 e 5?

QUÍMICA-EXERCÍCIOS SOBRE REAGENTE EM EXCESSO E REAGENTE LIMITANTE

1)(UFAL) A combustão incompleta de combustíveis fósseis produz monóxido de carbono(CO), um gás tóxico que, quando inalado, penetra nos pulmões, reduzindo a capacidade do sangue de transportar oxigênio através do corpo, pois o complexo formado com a hemoglobina é mais estável que o formado com o oxigênio. Admitindo que a reação:

2 CO_(g) + O_2(g) → 2 CO_2(g)

é completa, qual a quantidade de matéria de oxigênio presente no final da reação quando 9,0 mols de monóxido de carbono reagem com 6,0 mols de oxigênio em um recipiente fechado? Dados: C = 12 e O = 16

a) 2,0

b) 3,0

c) 4,5

d) 6,0

e) 1,5

2)(UFC) O ferro metálico pode ser produzido a partir da reação do Fe₂O₃com CO de acordo com a seguinte equação química não balanceada:

x Fe₂O_3(s) + y CO_(g) → w Fe_(s) + z CO_2(g)

Considere a reação completa entre 1,60 g de Fe₂O₃ e 3,00 g de CO e assinale a alternativa correta.

a) O reagente limitante dessa reação é o monóxido de carbono.

b) A quantidade máxima de ferro metálico produzida será de aproximadamente 1,12 g.

c) Após a reação se completar, restará 0,58 g de monóxido de carbono no meio reacional.

d) A quantidade máxima de dióxido de carbono produzida será de aproximadamente 4,60 g.

e) Se o rendimento for de 80%, serão produzidos aproximadamente 2,50 g de ferro metálico.

3)O ácido acetilsalicílico (AAS-C₉H₈O₄), comumente chamado de aspirina, é obtido com o ácido acético (C₂H₄O₂) a partir da reação do ácido salicílico (C₇H₆O₃) com anidrido acético (C₄H₆O₃), como podemos observar na equação proposta a seguir:

C₇H₆O₃ + C₄H₆O₃ → C₉H₈O₄ + C₂H₄O₂

Qual será o valor da massa do reagente limitante, sabendo que em uma determinada reação foi utilizado o reagente limitante da reação partindo-se de 12,5 g de ácido salicílico e 15,80 g de anidrido acético?

a) 6,3g

b) 7,8g

c) 15,8g

d) 12,5g

e) 8,7g

4)Quando o composto inorgânico fluoropatita (Ca₅(PO₄)₃F) é colocado na presença do ácido sulfúrico (H₂SO₄), ocorre uma reação química com a consequente formação de ácido fosfórico (H₃PO₄), sulfato de cálcio (CaSO₄) e ácido fluorídrico (HF). Veja a equação química balanceada que representa o processo:

Ca₅(PO₄)₃F + 5 H₂SO₄ → 3 H₃PO₄ + 5 CaSO₄ + HF

Se uma massa de 18,5 g de fluoropatita reagir com 49 g de ácido sulfúrico, qual será a massa em gramas do reagente em excesso que sobrará na reação?

a) 17,98 g

b) 0,25 g

c) 17,48 g

d) 0,52 g

e) 17,58 g

5)Numa mistura de 40 g de gás hidrogênio e 40g de gás oxigênio para produzir água, qual substância será o reagente em excesso e qual será o reagente limitante? Dadas as massas atômicas: H = 1; O = 16).

GABARITO

1-E

2-B

3-C

4-D

5-H(EXCESSO)/O(LIMITANTE)

FÍSICA-ENERGIA NO MHS

ENERGIA NO MHS

1)(UECE) Um sistema oscilante massa-mola possui uma energia mecânica igual a 1,0 J, uma amplitude de oscilação 0,5 m e uma velocidade máxima igual a 2 m/s. Portanto, a constante da mola, a massa e a freqüência são, respectivamente, iguais a:

a) 8,0 N/m, 1,0 kg e 4/π Hz

b) 4,0 N/m, 0,5 kg e 4/π Hz

c) 8,0 N/m, 0,5 kg e 2/π Hz

d) 4,0 N/m, 1,0 kg e 2/π Hz

 2)-(PUC-MG) Uma partícula de massa 0,5kg move-se sob ação de apenas uma força, à qual está associada uma energia potencial Ep cujo gráfico em função de x está representado na figura abaixo.

Esse gráfico consiste em uma parábola passando pela origem. A partícula inicia o movimento a partir do repouso, em

x= -2,0m. Pede-se:

a) Sua energia mecânica

b) A velocidade da partícula ao passar por x=0

c) A energia cinética da partícula ao passar por x=1m.

 3)Um objeto preso por uma mola de constante elástica igual a 20 N/m executa um movimento harmônico simples em

torno da posição de equilíbrio. A energia mecânica do sistema é de 0,4 J e as forças dissipativas são desprezíveis. A amplitude de oscilação do objeto é de:

GABARITO

1)Em-1J      A=0,5m        Vmáxima=2m/s

Em=1/2.kA2  —  1=1/2.k.(0,5)2  —  k=8N/m      Em=1/2.mV2máxima  —  1=1/2.m.(2)2  —  m=0,5kg

T=2pÖm/k  —  T=2pÖ0,5/8  —  T=2p.1/4  —  T=p/2 s  —  f=1/T  —  f=1/p/2  — f=2/pHz

2)a)  Como ela está sujeita a apenas uma força, o movimento é horizontal e essa força é a força elástica.Quando x=1m  —  Ep=1J  —  Ep=k.x2/2  —  1=k.12/2  —  k=2N/m. A amplitude A vale 2m, pois é aí que v=0.

Em=k.A2/2  — Em=2.22/2  —  Em=4J

b) Quando x=0  —  Ep=0  — Em=Ec + Ep  —   4=mV2/2 + 0  —  4=0,5V2/2  —  V=Ö16  —  V=4m/s

c) Em=Ec + Ep  —  4=Ec + k.x2/2  —  4=Ec + 2.12/2  —  Ec=3J

3)Como as forças dissipativas são desprezíveis, a energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2  ou  Em=Ec + Ep  ou  Em=kx2/2 + m.v2/2  —  Em=k.A2/2  —  0,4=20.A2/2  —  A2=8,8/20  —  A=√(4.10-2)=2.10-1m  — A=0,2m  —  R- B.